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Florian Goßler
Algebraische Mehrgitterverfahren mit F-Glättung
In vielen Bereichen der Wissenschaft, Industrie und Wirtschaft treten lineare Gleichungssysteme bei den verschiedensten Anwendungen auf, sei es beim Lösen von partiellen Differentialgleichungen, bei linearen Ausgleichsproblemen, in der Bildbearbeitung oder bei der Simulation von stochastischen Prozessen. Diese Gleichungssysteme besitzen die Gestalt Ax = b mit einer gegebenen Matrix A, einer rechten Seite b und einem gesuchten Vektor x. Zu den Aufgaben der numerischen linearen Algebra gehört sowohl das Lösen solch eines linearen Gleichungssystems, also die Entwicklung schneller und effizienter Verfahren, als auch die theoretische Analyse der verschiedenen Lösungsstrategien.
Die vorgelegte Dissertation beschäftigt sich mit der Analyse sogenannter algebraischer Mehrgitterverfahren (AMG) mit F -Gättung, die zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwendet werden können. Die ersten Ideen zu Mehrgitterverfahren stammen von Fedorenko (1964) und Bakhvalov (1966), die ersten algebraischen Varianten wurden von Brand, McCormick, Ruge und Stüben (1982/1987) entwickelt. Mittlerweile zählen algebraische Mehrgitterverfahren zu den effektivsten iterativen Lösungsverfahren der heutigen Zeit.
Eine spezielle Unterklasse von algebraischen Mehrgitterverfahren entsteht bei der Verwendung einer sogenannten F -Glättung, die in der vorgelegten Schrift umfassend untersucht wird. Zu dieser Klasse gehören das u.a. von Notay analysierte Multilevel-Block-Faktorisierungsverfahren (2005) sowie das von MacLachlan, McCormick und Manteuffel entwickelte reduction-based AMG (2006).
In der Dissertation werden algebraische Mehrgitterverfahren mit F -Glättung im Allgemeinen analysiert. Diese Analyse basiert zum großen Teil auf der sogenannten Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Konstante und generalisierten hierarchischen Basen. Im Zuge dieser Untersuchung muss diese Konstante abgeschätzt werden. Die wahrscheinlich einzig bekannte und hilfreiche Abschätzung wurde im Jahr 2006 von Notay geliefert. In der vorgelegten Arbeit wird eine weitere Abschätzung vorgestellt, die eine Verallgemeinerung des Resultats von Notay darstellt.
Des Weiteren werden in der Arbeit AMG’s eingeführt, die auf speziellen Tschebyshev Polynomen basieren und als AMGp-Verfahren bezeichnet werden. Mithilfe der zuvor vorgestellten Analysis können diese Verfahren umfassend untersucht werden. Durch diese Analyse stellt sich heraus, dass die AMGp-Verfahren eine Verallgemeinerung und Verbesserung des reduction-based AMG darstellt, was eine neue Interpretation des reduction-based AMG ermöglicht.
Die vorgelegte Dissertation beschäftigt sich mit der Analyse sogenannter algebraischer Mehrgitterverfahren (AMG) mit F -Gättung, die zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwendet werden können. Die ersten Ideen zu Mehrgitterverfahren stammen von Fedorenko (1964) und Bakhvalov (1966), die ersten algebraischen Varianten wurden von Brand, McCormick, Ruge und Stüben (1982/1987) entwickelt. Mittlerweile zählen algebraische Mehrgitterverfahren zu den effektivsten iterativen Lösungsverfahren der heutigen Zeit.
Eine spezielle Unterklasse von algebraischen Mehrgitterverfahren entsteht bei der Verwendung einer sogenannten F -Glättung, die in der vorgelegten Schrift umfassend untersucht wird. Zu dieser Klasse gehören das u.a. von Notay analysierte Multilevel-Block-Faktorisierungsverfahren (2005) sowie das von MacLachlan, McCormick und Manteuffel entwickelte reduction-based AMG (2006).
In der Dissertation werden algebraische Mehrgitterverfahren mit F -Glättung im Allgemeinen analysiert. Diese Analyse basiert zum großen Teil auf der sogenannten Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Konstante und generalisierten hierarchischen Basen. Im Zuge dieser Untersuchung muss diese Konstante abgeschätzt werden. Die wahrscheinlich einzig bekannte und hilfreiche Abschätzung wurde im Jahr 2006 von Notay geliefert. In der vorgelegten Arbeit wird eine weitere Abschätzung vorgestellt, die eine Verallgemeinerung des Resultats von Notay darstellt.
Des Weiteren werden in der Arbeit AMG’s eingeführt, die auf speziellen Tschebyshev Polynomen basieren und als AMGp-Verfahren bezeichnet werden. Mithilfe der zuvor vorgestellten Analysis können diese Verfahren umfassend untersucht werden. Durch diese Analyse stellt sich heraus, dass die AMGp-Verfahren eine Verallgemeinerung und Verbesserung des reduction-based AMG darstellt, was eine neue Interpretation des reduction-based AMG ermöglicht.
Schlagwörter: Mehrgitterverfahren; Mehrlevelverfahren; CBS Konstante
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