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Rezensionsexemplar
Peter Göthner
Lineare Algebra – eine behutsame Einführung
mit einem Exkurs in die Analytische Geometrie, 2. überarbeitete Auflage
Die behutsame Einführung in die Lineare Algebra knüpft unmittelbar an Inhalte des Mathematikunterrichtes an und ebnet den mitunter nicht einfachen Übergang von der Schule zur Hochschule. Es wird versucht, eine Brücke zu schlagen zwischen der stärker beispielgebundenen Erarbeitung des Schulstoffes und der abstrakten Vorgehensweise in Vorlesungen zur Mathematik. Somit liegt eine für Studenten der Mathematik, der Natur- und Wirtschaftswissenschaften oder auch der technischer Fachrichtungen eine nahezu voraussetzungslose Einführung in das Begriffssystem und in die Methoden der Linearen Algebra vor, die auch interessierten Schülern höherer Klassenstufen zugänglich ist.
Das Buch ist zum Selbststudium geeignet, natürlich auch als vorlesungsbegleitende und ergänzende Literatur. Insbesondere kann es zur Wiederholung und Festigung im Hinblick auf Prüfungsvorbereitungen an Universitäten und Fachhochschulen genutzt werden.
Zentrale Begriffe, Verfahren und Denkweisen der Linearen Algebra bilden eine notwendige Grundlage für weitere Studien der Algebra und der Analysis, der Optimierung und der Numerik sowie insbesondere der Analytischen Geometrie.
Inhalte und deren Darstellung schaffen fachliche Voraussetzungen für diejenigen Leser, die Mathematik als Werkzeug für Anwendungen benötigen, sie öffnen aber auch denjenigen die Augen, welche bei weiterführenden Studien die Strenge und Faszination der Mathematik entdecken und erleben wollen.
Das Kapitel Vektorräume nimmt eine Schlüsselstellung ein. Es beginnt mit einer Diskussion über die scheinbar einfachen Frage, was man eigentlich unter einem Vektor verstehen will.
Im Kapitel Matrizen lernt der Leser ein mathematisches Handwerkszeug kennen, das sich bei der Behandlung von Gleichungssystemen und zur Beschreibung linearer Abbildungen als außerordentlich zweckmäßig erwiesen hat. Die Struktur der Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen wird im dritten Kapitel untersucht, vor allem aber wird der Gauß´sche Algorithmus als universelles Lösungsverfahren ausführlich dargestellt. Üblicherweise wird beim numerischen Lösen elektronische Rechentechnik eingesetzt. An einfachen Beispielen wird der interessanten Frage nachgegangen, welche Effekte dann beim Lösen "schlecht konditionierter" Gleichungssysteme auftreten können.
Das vierte Kapitel widmet sich der Eigenwerttheorie. Hier wird das auch für die Geometrie bedeutsame Problem untersucht, unter welchen Bedingungen eine lineare Abbildung durch eine Matrix mit möglichst einfacher Bauart beschrieben werden kann.
Schließlich wird im fünften Kapitel ein Exkurs in die Analytische Geometrie unternommen. Insbesondere zeigt sich, wie zweckmäßig Begriffsbildungen und Methoden der Linearen Algebra zur Darstellung geometrischer Zusammenhänge genutzt werden können. Punkte, Geraden und Hyperebenen werden mit Hilfe von Vektoren definiert und untersucht, Volumina spezieller geometrischer Figuren lassen sich mit Hilfe von Determinanten festlegen. Für die Untersuchung von affinen, äquiformen und metrischen Transformationen in der Geometrie ist der Einsatz von Matrizen hervorragend geeignet.
Alles verstanden? Testen Sie sich! Besonderer Wert wurde auf eine große Zahl von Tests und auf vielseitige Übungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels gelegt. Mit Hilfe einer Testklausur kann zudem überprüft werden, in welchem Umfang die erarbeiteten Zusammenhänge bereits beherrscht werden. Lösungshinweise beschränken sich dabei nicht nur auf das Angeben von Ergebnissen, es werden auch Anregungen und Hilfestellungen zum nochmaligen Nachdenken über die jeweiligen Problemstellungen formuliert.
Wie bereits angedeutet: Der Zugang zu den Inhalten des Buches ist nahezu voraussetzungslos. Wünschenswert für der Einstieg wären ein grober Einblick in den Aufbau der Zahlbereiche sowie elementare Fähigkeiten im Umgang mit Mengen und Abbildungen.
Doch keine Sorge: Einen gedrängten Überblick über solche Voraussetzungen findet man am Ende des Buches.
Das Buch ist zum Selbststudium geeignet, natürlich auch als vorlesungsbegleitende und ergänzende Literatur. Insbesondere kann es zur Wiederholung und Festigung im Hinblick auf Prüfungsvorbereitungen an Universitäten und Fachhochschulen genutzt werden.
Zentrale Begriffe, Verfahren und Denkweisen der Linearen Algebra bilden eine notwendige Grundlage für weitere Studien der Algebra und der Analysis, der Optimierung und der Numerik sowie insbesondere der Analytischen Geometrie.
Inhalte und deren Darstellung schaffen fachliche Voraussetzungen für diejenigen Leser, die Mathematik als Werkzeug für Anwendungen benötigen, sie öffnen aber auch denjenigen die Augen, welche bei weiterführenden Studien die Strenge und Faszination der Mathematik entdecken und erleben wollen.
Das Kapitel Vektorräume nimmt eine Schlüsselstellung ein. Es beginnt mit einer Diskussion über die scheinbar einfachen Frage, was man eigentlich unter einem Vektor verstehen will.
Im Kapitel Matrizen lernt der Leser ein mathematisches Handwerkszeug kennen, das sich bei der Behandlung von Gleichungssystemen und zur Beschreibung linearer Abbildungen als außerordentlich zweckmäßig erwiesen hat. Die Struktur der Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen wird im dritten Kapitel untersucht, vor allem aber wird der Gauß´sche Algorithmus als universelles Lösungsverfahren ausführlich dargestellt. Üblicherweise wird beim numerischen Lösen elektronische Rechentechnik eingesetzt. An einfachen Beispielen wird der interessanten Frage nachgegangen, welche Effekte dann beim Lösen "schlecht konditionierter" Gleichungssysteme auftreten können.
Das vierte Kapitel widmet sich der Eigenwerttheorie. Hier wird das auch für die Geometrie bedeutsame Problem untersucht, unter welchen Bedingungen eine lineare Abbildung durch eine Matrix mit möglichst einfacher Bauart beschrieben werden kann.
Schließlich wird im fünften Kapitel ein Exkurs in die Analytische Geometrie unternommen. Insbesondere zeigt sich, wie zweckmäßig Begriffsbildungen und Methoden der Linearen Algebra zur Darstellung geometrischer Zusammenhänge genutzt werden können. Punkte, Geraden und Hyperebenen werden mit Hilfe von Vektoren definiert und untersucht, Volumina spezieller geometrischer Figuren lassen sich mit Hilfe von Determinanten festlegen. Für die Untersuchung von affinen, äquiformen und metrischen Transformationen in der Geometrie ist der Einsatz von Matrizen hervorragend geeignet.
Alles verstanden? Testen Sie sich! Besonderer Wert wurde auf eine große Zahl von Tests und auf vielseitige Übungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels gelegt. Mit Hilfe einer Testklausur kann zudem überprüft werden, in welchem Umfang die erarbeiteten Zusammenhänge bereits beherrscht werden. Lösungshinweise beschränken sich dabei nicht nur auf das Angeben von Ergebnissen, es werden auch Anregungen und Hilfestellungen zum nochmaligen Nachdenken über die jeweiligen Problemstellungen formuliert.
Wie bereits angedeutet: Der Zugang zu den Inhalten des Buches ist nahezu voraussetzungslos. Wünschenswert für der Einstieg wären ein grober Einblick in den Aufbau der Zahlbereiche sowie elementare Fähigkeiten im Umgang mit Mengen und Abbildungen.
Doch keine Sorge: Einen gedrängten Überblick über solche Voraussetzungen findet man am Ende des Buches.
Schlagwörter: Vektorräume; Lineare Unabhängigkeit; Basen; Lineare Abbildungen; Matrizen; Determinanten; Lineares Gleichungssystem; Eigenwerte und Eigenvektoren; Affine Räume; Lineare Teilräume; Koordinatentransformationen; Winkel und Abstände; Volumina; Quadratische Formen; Hauptachsentransformationen
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